Упр.26.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=0{,}4$$, $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=-3$$. Вычислите: а) $$\operatorname{tg}(x+y)$$; б) $$\operatorname{ctg}(x-y)$$.

Из условия имеем:

$$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\tg x=0{,}4=\frac25,$$

значит

$$\tg x=\frac25.$$

Также

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=-\ctg y=-3,$$

откуда

$$\ctg y=3,\qquad \tg y=\frac13.$$

а) Найдём $$\tg(x+y)$$:

$$\tg(x+y)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\cdot \tg y} =\frac{\frac25+\frac13}{1-\frac25\cdot\frac13} =\frac{\frac{6}{15}+\frac{5}{15}}{1-\frac{2}{15}} =\frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} =\frac{11}{13}.$$

б) Найдём $$\ctg(x-y)$$:

$$\ctg(x-y)=\frac{1+\tg x\cdot \tg y}{\tg x-\tg y} =\frac{1+\frac25\cdot\frac13}{\frac25-\frac13} =\frac{1+\frac{2}{15}}{\frac{6}{15}-\frac{5}{15}} =\frac{\frac{17}{15}}{\frac{1}{15}} =17.$$

Ответ: а) $$\frac{11}{13}$$; б) $$17$$.