Упр.26.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\frac{\operatorname{tg} 380^\circ+\operatorname{tg} 25^\circ}{\operatorname{tg} 225^\circ+\operatorname{ctg} 290^\circ\operatorname{ctg} 65^\circ}$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg}\frac{19\pi}{36}-\operatorname{tg}\frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3}\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{3}-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{36}\operatorname{ctg}\frac{11\pi}{36}}$$.
а) $$\frac{\tg 380^\circ+\tg 25^\circ}{\tg 225^\circ+\ctg 290^\circ\cdot \ctg 65^\circ}$$
Преобразуем углы:
$$\tg 380^\circ=\tg(360^\circ+20^\circ)=\tg 20^\circ,$$
$$\tg 225^\circ=\tg(270^\circ-45^\circ)=\ctg 45^\circ=1,$$
$$\ctg 290^\circ=\ctg(270^\circ+20^\circ)=-\tg 20^\circ,$$
$$\ctg 65^\circ=\ctg(90^\circ-25^\circ)=\tg 25^\circ.$$
Тогда
$$\frac{\tg 20^\circ+\tg 25^\circ}{1-\tg 20^\circ\cdot \tg 25^\circ}=\tg(20^\circ+25^\circ)=\tg 45^\circ=1.$$
б) $$\frac{\tg \frac{19\pi}{36}-\tg \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3}\ctg \frac{7\pi}{3}-\ctg \frac{\pi}{36}\cdot \ctg \frac{11\pi}{36}}$$
Упростим знаменатель:
$$\ctg \frac{7\pi}{3}=\ctg\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\ctg \frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$\ctg \frac{\pi}{36}=\tg \frac{17\pi}{36}, \qquad \ctg \frac{11\pi}{36}=\tg \frac{7\pi}{36}.$$
Тогда
$$\sqrt{3}\ctg \frac{7\pi}{3}-\ctg \frac{\pi}{36}\cdot \ctg \frac{11\pi}{36} = \sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}-\tg \frac{17\pi}{36}\cdot \tg \frac{7\pi}{36}.$$
Но удобнее заметить, что
$$\ctg \frac{\pi}{36}\cdot \ctg \frac{11\pi}{36}=\tg \frac{17\pi}{36}\cdot \tg \frac{7\pi}{36},$$
и после приведения к формуле разности тангенсов получаем:
$$\frac{\tg \frac{19\pi}{36}-\tg \frac{7\pi}{36}}{1+\tg \frac{19\pi}{36}\cdot \tg \frac{7\pi}{36}} =\tg\left(\frac{19\pi}{36}-\frac{7\pi}{36}\right) =\tg \frac{12\pi}{36} =\tg \frac{\pi}{3} =\sqrt{3}.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$\sqrt{3}$$.
