Упр.26.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\frac{\sin^3(a-270^\circ)\cos(360^\circ-a)}{\tg^3(a-90^\circ)\cos^3(a-270^\circ)}$$;
  б) $$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\tg\left(\frac{\pi}{2}+y\right)}{\cos(\pi-x)\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-y\right)}-\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-y\right)\ctg\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)}{\sin(2\pi-y)\tg(11\pi-x)}$$.

а)

$$\frac{\sin^3(a-270^\circ)\cdot \cos(360^\circ-a)}{\tg^3(a-90^\circ)\cdot \cos^3(a-270^\circ)} = \frac{\sin^3(a-270^\circ)\cdot \cos(-a)}{\tg^3(a-90^\circ)\cdot \cos^3(a-270^\circ)}$$

Так как $$\sin(a-270^\circ)=\sin(a+90^\circ)=\cos a,$$ $$\cos(-a)=\cos a,$$ $$\tg(a-90^\circ)= -\ctg a,$$ $$\cos(a-270^\circ)=\cos(a+90^\circ)=-\sin a,$$ то

$$\frac{\cos^3 a\cdot \cos a}{(-\ctg a)^3\cdot (-\sin a)^3} = \frac{\cos^4 a}{\ctg^3 a\cdot \sin^3 a} = \frac{\cos a}{\ctg^3 a}\cdot \frac{\cos^3 a}{\sin^3 a} = \cos a.$$

б)

$$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{2}+y\right)}{\cos(\pi-x)\cdot \ctg\left(\frac{3\pi}{2}-y\right)} — \frac{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-y\right)\cdot \ctg\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)}{\sin(2\pi-y)\cdot \tg(11\pi-x)}$$

Используем формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x,\quad \tg\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=-\ctg y,$$
$$\cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}-y\right)=\tg y,$$
$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}-y\right)=-\cos y,\quad \ctg\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)=-\tg x,$$
$$\sin(2\pi-y)=-\sin y,\quad \tg(11\pi-x)=-\tg x.$$

Тогда
$$\frac{(-\cos x)(-\ctg y)}{(-\cos x)\tg y} — \frac{(-\cos y)(-\tg x)}{(-\sin y)(-\tg x)} = -\frac{\ctg y}{\tg y}+1 = 1-\ctg^2 y.$$

Ответ: а) $$\cos a$$; б) $$1-\ctg^2 y$$.