Упр.26.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\frac{\cos(180^\circ+a)\cos(-a)}{\sin(-a)\sin(90^\circ+a)}$$;
   б) $$\frac{\sin(\pi-t)\cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cos(\pi-t)}$$;
   в) $$\frac{\sin(-a)\ctg(-a)}{\cos(360^\circ-a)\tg(180^\circ+a)}$$;
   г) $$\frac{\sin(\pi+t)\sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}$$.

Используем формулы приведения:

• $$\cos(180^\circ+a)=-\cos a$$, $$\sin(-a)=-\sin a$$, $$\sin(90^\circ+a)=\cos a$$;
• $$\sin(\pi-t)=\sin t$$, $$\cos(2\pi-t)=\cos t$$, $$\tg(\pi-t)=-\tg t$$, $$\cos(\pi-t)=-\cos t$$;
• $$\sin(-a)=-\sin a$$, $$\ctg(-a)=-\ctg a$$, $$\cos(360^\circ-a)=\cos a$$, $$\tg(180^\circ+a)=\tg a$$;
• $$\sin(\pi+t)=-\sin t$$, $$\sin(2\pi+t)=\sin t$$, $$\tg(\pi+t)=\tg t$$, $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)=\sin t$$.

Тогда:

$$\frac{\cos(180^\circ+a)\cos(-a)}{\sin(-a)\sin(90^\circ+a)} = \frac{(-\cos a)\cos a}{(-\sin a)\cos a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a$$

$$\frac{\sin(\pi-t)\cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cos(\pi-t)} = \frac{\sin t\cos t}{(-\tg t)(-\cos t)} = \frac{\sin t\cos t}{\tg t\cos t} = \frac{\sin t}{\tg t} = \cos t$$

$$\frac{\sin(-a)\ctg(-a)}{\cos(360^\circ-a)\tg(180^\circ+a)} = \frac{(-\sin a)(-\ctg a)}{\cos a\cdot \tg a} = \frac{\sin a\cdot \ctg a}{\cos a\cdot \tg a} = \ctg a$$

$$\frac{\sin(\pi+t)\sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)} = \frac{(-\sin t)\sin t}{\tg t\cdot \sin t} = -\frac{\sin t}{\tg t} = -\cos t$$

Ответ: а) $$\ctg a$$; б) $$\cos t$$; в) $$\ctg a$$; г) $$-\cos t$$.