Упр.25.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что значение выражения $$\frac{\operatorname{tg}(a-b)-\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b}{\operatorname{tg}(a-b)\operatorname{tg}b}$$ не зависит от значения $$b$$.

Преобразуем числитель дроби:

$$\tg(a-b)-\tg a+\tg b=\tg(a-b)-(\tg a-\tg b).$$

По формуле разности тангенсов

$$\tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}.$$

Тогда

$$\begin{aligned} \tg(a-b)-(\tg a-\tg b) &=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}-(\tg a-\tg b) \\ &=(\tg a-\tg b)\left(\frac{1}{1+\tg a\cdot\tg b}-1\right) \\ &=(\tg a-\tg b)\cdot\frac{-\tg a\cdot\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b} \\ &=-\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b. \end{aligned}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\tg(a-b)-\tg a+\tg b}{\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b} = \frac{-\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b}{\tg(a-b)\cdot\tg a\cdot\tg b} =-1.$$

Следовательно, значение выражения не зависит от $$b$$ и равно $$-1$$.

Ответ: $$-1$$.