Упр.25.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите тождество: а) $$\frac{1-\operatorname{tg} a}{1+\operatorname{tg} a}=\operatorname{tg}(45^\circ-a)$$; б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)+\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)\operatorname{tg}x-1$$; в) $$\frac{\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b}{\operatorname{tg}(a+b)}+\frac{\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b}{\operatorname{tg}(a-b)}=2$$; г) $$\operatorname{tg}\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\operatorname{tg}a=1+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\operatorname{tg}a$$.
а) Преобразуем правую часть:
$$\tg(45^\circ-a)=\frac{\tg 45^\circ-\tg a}{1+\tg 45^\circ\cdot \tg a} =\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$
Следовательно,
$$\frac{1-\tg a}{1+\tg a}=\tg(45^\circ-a).$$
Тождество доказано.
б) Используем формулу тангенса разности:
$$\tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)=\frac{\tg\frac{3\pi}{4}-\tg x}{1+\tg\frac{3\pi}{4}\cdot \tg x} =\frac{-1-\tg x}{1-\tg x}.$$
Тогда
$$\tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)+\tg x =\tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)\tg x-1.$$
Тождество доказано.
в) Преобразуем каждую дробь по формулам суммы и разности тангенсов:
$$\frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)} = \frac{\tg a+\tg b}{\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}} + \frac{\tg a-\tg b}{\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}}.$$
Отсюда
$$(1-\tg a\cdot \tg b)+(1+\tg a\cdot \tg b)=2.$$
Значит,
$$\frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)}=2.$$
Тождество доказано.
г) Преобразуем левую часть:
$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\tg a = \frac{\tg a+1}{1-\tg a}-\tg a.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\tg a+1-\tg a(1-\tg a)}{1-\tg a} = \frac{1+\tg^2 a}{1-\tg a}.$$
Правая часть:
$$1+\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\tg a = 1+\frac{1+\tg a}{1-\tg a}\cdot \tg a = \frac{1+\tg^2 a}{1-\tg a}.$$
Следовательно,
$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\tg a = 1+\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\tg a.$$
Тождество доказано.
