Упр.25.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен тангенс острого угла между диагональю AC и отрезком BK?

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда можно ввести координаты:

$$A(0,0),\; B(0,a),\; C(a,a),\; D(a,0),\; K\left(a,\frac a2\right).$$

Угол между диагональю $$AC$$ и отрезком $$BK$$ найдем через их угловые коэффициенты.

Для прямой $$AC$$:

$$k_{AC}=\frac{a-0}{a-0}=1,$$

значит, $$\tan \alpha = 1$$, где $$\alpha$$ — угол наклона диагонали $$AC$$ к оси $$Ox$$.

Для прямой $$BK$$:

$$k_{BK}=\frac{\frac a2-a}{a-0}=-\frac12.$$

Острый угол между прямыми $$AC$$ и $$BK$$ равен углу между их направлениями, поэтому

$$\tan \varphi=\left|\frac{k_{AC}-k_{BK}}{1+k_{AC}k_{BK}}\right|=\left|\frac{1-(-\frac12)}{1+1\cdot(-\frac12)}\right|=\frac{\frac32}{\frac12}=3.$$

Ответ: $$3$$.