Упр.25.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите $$P$$, если известно, что $$\operatorname{tg}(a+P)=-3$$, $$\operatorname{tg}(a-b)=\frac{1}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}

Обозначим $$x=\tg a,\quad y=\tg \beta.$$ Тогда по формулам тангенса суммы и разности получаем:

$$\frac{x+y}{1-xy}=-3,\qquad \frac{x-y}{1+xy}=\frac13.$$

Из второго уравнения:

$$3(x-y)=1+xy,$$

откуда

$$3x-3y=1+xy,$$

$$x(3-y)=1+3y,$$

$$x=\frac{1+3y}{3-y}.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{\frac{1+3y}{3-y}+y}{1-y\cdot \frac{1+3y}{3-y}}=-3.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$3-y$$:

$$\frac{1+3y+y(3-y)}{3-y-y(1+3y)}=-3,$$

$$\frac{1+6y-y^2}{3-2y-3y^2}=-3.$$

Тогда

$$1+6y-y^2=-9+6y+9y^2,$$

$$10y^2=10,$$

$$y^2=1,$$

$$y=\pm 1.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то $$\tg \beta<0,$$ значит

$$\tg \beta=-1.$$

Следовательно,

$$\beta=\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $$\frac{3\pi}{4}$$.