Упр.25.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}\operatorname{tg}(x+y)=-3,\\2\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y=0;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\operatorname{tg}(x-y)=-\frac{1}{2},\\2\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y=5.\end{cases}$$

Подробный ответ

Положим $$a=\tg x,\quad b=\tg y.$$ Тогда используем формулы:

$$\tg(x+y)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\cdot \tg y},\qquad \tg(x-y)=\frac{\tg x-\tg y}{1+\tg x\cdot \tg y}.$$

а)

Имеем систему

$$\begin{cases} \dfrac{a+b}{1-ab}=-3,\\ 2a-b=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$b=2a.$$ Подставим в первое:

$$\frac{a+2a}{1-a\cdot 2a}=-3 \Rightarrow \frac{3a}{1-2a^2}=-3.$$

Делим на $$-3$$:

$$\frac{a}{1-2a^2}=-1 \Rightarrow a=2a^2-1 \Rightarrow 2a^2-a-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$

$$a_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Отсюда

$$a_1=-\frac12,\quad a_2=1.$$

Тогда

$$b_1=2a_1=-1,\quad b_2=2a_2=2.$$

Получаем две пары:

$$\tg x=-\frac12,\quad \tg y=-1; \qquad \tg x=1,\quad \tg y=2.$$

Значит,

$$\begin{cases} x=-\arctg \frac12+\pi n,\\ y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \end{cases} \qquad \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\\ y=\arctg 2+\pi k, \end{cases} \quad n,k\in \mathbb Z.$$

б)

Имеем систему

$$\begin{cases} \dfrac{a-b}{1+ab}=-\dfrac12,\\ 2a+b=5. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$b=5-2a.$$ Подставим в первое:

$$\frac{a-(5-2a)}{1+a(5-2a)}=-\frac12 \Rightarrow \frac{3a-5}{1+5a-2a^2}=-\frac12.$$

Перемножим крест-накрест:

$$2(3a-5)=-(1+5a-2a^2).$$

Тогда

$$6a-10=-1-5a+2a^2 \Rightarrow 2a^2-11a+9=0.$$

Находим корни:

$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 9=49,$$

$$a_{1,2}=\frac{11\pm 7}{4}.$$

Следовательно,

$$a_1=1,\quad a_2=\frac92.$$

Тогда

$$b_1=5-2\cdot 1=3,\quad b_2=5-2\cdot \frac92=-4.$$

Получаем:

$$\tg x=1,\quad \tg y=3; \qquad \tg x=\frac92,\quad \tg y=-4.$$

Значит,

$$\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\\ y=\arctg 3+\pi k, \end{cases} \qquad \begin{cases} x=\arctg \dfrac92+\pi n,\\ y=-\arctg 4+\pi k, \end{cases} \quad n,k\in \mathbb Z.$$