Упр.25 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\frac{2x-7}{x^2-9x+14}-\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{x^2-9}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-9x+14=(x-7)(x-2),\quad x^2-3x+2=(x-1)(x-2),\quad x^2-9=(x-3)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{2x-7}{(x-7)(x-2)}-\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(x-3)(x+3)}.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю и перенесём всё в одну сторону. После упрощения получаем:
$$\frac{x}{(x-7)(x-2)(x-1)}=0.$$
Отсюда
$$x=0.$$
Проверка ОДЗ: $$x\neq 7,\;2,\;1,\;3,\;-3,$$ значит $$x=0$$ подходит.
б) $$\frac{3}{x^2-9}=\frac{1}{9-6x+x^2}+\frac{3}{2x^2+6x}$$
Разложим знаменатели:
$$x^2-9=(x-3)(x+3),\quad 9-6x+x^2=(x-3)^2,\quad 2x^2+6x=2x(x+3).$$
После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем:
$$x^2+6x-9=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-9)=36+36=72,$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{72}}{2}=-3\pm 3\sqrt{2}.$$
Оба корня не нарушают ОДЗ, значит
$$x=-3-3\sqrt{2},\; -3+3\sqrt{2}.$$
в) $$\frac{3x}{x^3-1}-\frac{5}{4x^2+4x+4}+\frac{1}{2(1-x)}=0$$
Разложим знаменатели:
$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\quad 4x^2+4x+4=4(x^2+x+1),\quad 2(1-x)=-2(x-1).$$
После приведения к общему знаменателю получаем:
$$2x^2+9x+7=0.$$
Найдём корни:
$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 7=81-56=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 5}{4}.$$
Тогда
$$x_1=-1,\quad x_2=-\frac{7}{2}.$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ, значит
$$x=-1,\; -\frac{7}{2}.$$
г) $$1+\frac{4x^2}{2x^2+7x-4}-\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{2x-1}$$
Разложим:
$$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4).$$
После приведения к общему знаменателю получаем:
$$2x^2+7x-4=0.$$
Решаем:
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81,$$
$$x=\frac{-7\pm 9}{4}.$$
Отсюда
$$x_1=\frac12,\quad x_2=-4.$$
Проверка ОДЗ: $$x\neq \frac12,\,-4,$$ поэтому корни не подходят. Следовательно, решений нет.
д) $$\frac{3}{x^2-9}=\frac{1}{9-6x+x^2}+\frac{3}{2x^2+6x}$$
Это уравнение совпадает с пунктом б), поэтому его решение:
$$x=-3-3\sqrt{2},\; -3+3\sqrt{2}.$$
е) $$\frac{3x}{x^3-1}-\frac{5}{4x^2+4x+4}+\frac{1}{2(1-x)}=0$$
Это уравнение совпадает с пунктом в), поэтому его решение:
$$x=-1,\; -\frac{7}{2}.$$
Ответ: а) $$0$$; б) $$-3-3\sqrt{2},\,-3+3\sqrt{2}$$; в) $$-1,\,-\frac{7}{2}$$; г) решений нет; д) $$-3-3\sqrt{2},\,-3+3\sqrt{2}$$; е) $$-1,\,-\frac{7}{2}$$.
