Упр.25.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\frac{\operatorname{tg}25^\circ+\operatorname{tg}20^\circ}{1-\operatorname{tg}25^\circ\operatorname{tg}20^\circ}$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg}9^\circ+\operatorname{tg}51^\circ}{1-\operatorname{tg}9^\circ\operatorname{tg}51^\circ}$$;
в) $$\frac{1-\operatorname{tg}70^\circ\operatorname{tg}65^\circ}{\operatorname{tg}70^\circ+\operatorname{tg}65^\circ}$$;
г) $$\frac{1+\operatorname{tg}54^\circ\operatorname{tg}9^\circ}{\operatorname{tg}54^\circ-\operatorname{tg}9^\circ}$$.
Используем формулы сложения для тангенса:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$
$$\frac{\tg 25^\circ+\tg 20^\circ}{1-\tg 25^\circ\cdot\tg 20^\circ}=\tg(25^\circ+20^\circ)=\tg 45^\circ=1.$$
$$\frac{1-\tg 70^\circ\cdot\tg 65^\circ}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}=\frac{1}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}\cdot\left(1-\tg 70^\circ\cdot\tg 65^\circ\right).$$
Представим выражение в виде, удобном для формулы:
$$\frac{1-\tg 70^\circ\cdot\tg 65^\circ}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}=\frac{1}{\tg(70^\circ+65^\circ)}=\frac{1}{\tg 135^\circ}=\ctg 135^\circ=-1.$$
$$\frac{\tg 9^\circ+\tg 51^\circ}{1-\tg 9^\circ\cdot\tg 51^\circ}=\tg(9^\circ+51^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$
$$\frac{1+\tg 54^\circ\cdot\tg 9^\circ}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}=\frac{1}{\tg(54^\circ-9^\circ)}=\frac{1}{\tg 45^\circ}=1.$$
Ответ: а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$\sqrt{3}$$; г) $$1$$.
