Упр.25.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}+\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}\operatorname{tg}x}<1$$
   б) $$\frac{\operatorname{tg}3x-1}{\operatorname{tg}3x+1}>1$$

а) Преобразуем дробь по формуле тангенса суммы:

$$\frac{\tg \frac{\pi}{5}+\tg x}{1-\tg \frac{\pi}{5}\tg x}=\tg\left(\frac{\pi}{5}+x\right).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\tg\left(\frac{\pi}{5}+x\right)<1.$$

Так как $$\tg t$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$ то

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{\pi}{5}+x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Вычтем $$\frac{\pi}{5}$$:

$$-\frac{7\pi}{10}+\pi n<x<\frac{\pi}{20}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично:

$$\frac{\tg 3x-1}{\tg 3x+1}=\frac{\tg 3x-\tg \frac{\pi}{4}}{1+\tg 3x\,\tg \frac{\pi}{4}}=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Получаем неравенство

$$\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)>1.$$

Так как $$\tg t$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$ то

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<3x-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$:

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<3x<\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

Разделим на $$3$$:

$$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{7\pi}{10}+\pi n<x<\frac{\pi}{20}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$