Упр.25.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi; 2\pi]$$:
   а) $$\frac{\sqrt{3}-\tg x}{1+\sqrt{3}\tg x}=1$$;
   б) $$\frac{\tg\frac{\pi}{5}-\tg 2x}{\tg\frac{\pi}{5}\tg 2x+1}=\sqrt{3}$$.

Используем формулу

$$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}=\tg(\alpha-\beta).$$

а)

$$\frac{\sqrt{3}-\tg x}{1+\sqrt{3}\tg x}=1.$$

Так как $$\sqrt{3}=\tg \frac{\pi}{3},$$ то

$$\tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=1.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}-\pi n=\frac{\pi}{12}-\pi n.$$

Найдём корни на отрезке $$[-\pi;2\pi].$$

При $$n=1,0,-1$$ получаем:

$$x=-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}.$$

б)

$$\frac{\tg \frac{\pi}{5}-\tg 2x}{\tg \frac{\pi}{5}\tg 2x+1}=\sqrt{3}.$$

Так как $$\sqrt{3}=\tg \frac{\pi}{3},$$ то

$$\tg\left(\frac{\pi}{5}-2x\right)=\tg \frac{\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{5}-2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{3}-\pi n=-\frac{2\pi}{15}-\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{15}-\frac{\pi n}{2}.$$

Подбираем значения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;2\pi].$$ Получаем:

$$-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}.$$

Ответ

а) $$-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}$$; б) $$-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}.$$