Упр.25.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} 3x}{1+\operatorname{tg} x\operatorname{tg} 3x}=1$$;

б) $$\frac{\operatorname{tg} 5x+\operatorname{tg} 3x}{1+\operatorname{tg} 5x\operatorname{tg} 3x}=\sqrt{3}$$.

Используем формулу тангенса суммы и разности:

$$\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \tg \beta}=\tg(\alpha+\beta), \qquad \frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}=\tg(\alpha-\beta).$$

а)

$$\frac{\tg x+\tg 3x}{1-\tg x \tg 3x}=1$$

Тогда

$$\tg(x+3x)=1,$$

то есть

$$\tg 4x=1.$$

Отсюда

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Делим на $$4$$:

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$\frac{\tg 5x-\tg 3x}{1+\tg 3x \tg 5x}=\sqrt{3}$$

Тогда

$$\tg(5x-3x)=\sqrt{3},$$

то есть

$$\tg 2x=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Делим на $$2$$:

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}.$$