Упр.25.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дано: $$a-b=\frac{\pi}{4}$$. Докажите, что:

а) $$\frac{1+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} b}=\operatorname{tg} a$$;

б) $$\frac{\operatorname{tg} b-1}{\operatorname{tg} b+1}=\operatorname{tg} b$$.

Используем формулу тангенса суммы:

$$\tg(x+y)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\,\tg y}.$$

Так как $$a-b=\frac{\pi}{4},$$ то $$a=b+\frac{\pi}{4}.$$

а)

$$\tg a=\tg\left(b+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg b+\tg\frac{\pi}{4}}{1-\tg b\cdot \tg\frac{\pi}{4}}.$$

Поскольку $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ получаем

$$\tg a=\frac{\tg b+1}{1-\tg b}=\frac{1+\tg b}{1-\tg b}.$$

Что и требовалось доказать.

б)

Из равенства $$a-b=\frac{\pi}{4}$$ имеем $$b=a-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

$$\tg b=\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot \tg\frac{\pi}{4}}.$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ то

$$\tg b=\frac{\tg a-1}{\tg a+1}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $$\frac{1+\tg b}{1-\tg b}=\tg a,$$ $$\frac{\tg a-1}{\tg a+1}=\tg b.$$