Упр.25.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$\cos a=\frac{3}{5}$$, $$0

Так как $$\cos a=\frac35$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{4/5}{3/5}=\frac43.$$

Ход решения

а)

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}} =\frac{\frac43+\sqrt3}{1-\frac43\sqrt3}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{\frac43+\sqrt3}{1-\frac43\sqrt3} =\frac{4+3\sqrt3}{3-4\sqrt3} =\frac{(4+3\sqrt3)(3+4\sqrt3)}{(3-4\sqrt3)(3+4\sqrt3)}.$$

Тогда

$$\frac{(4+3\sqrt3)(3+4\sqrt3)}{9-48} =\frac{12+16\sqrt3+9\sqrt3+36}{-39} =-\frac{48+25\sqrt3}{39}.$$

б)

$$\tg\left(a-\frac{5\pi}{4}\right)=\tg\left(a-\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right),$$

так как период тангенса равен $$\pi.$$ Тогда

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}} =\frac{\frac43-1}{1+\frac43\cdot1} =\frac{\frac13}{\frac73} =\frac17.$$

Ответ

а) $$-\frac{48+25\sqrt3}{39}$$; б) $$\frac17$$.