Упр.25.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$\operatorname{tg} a=3$$ и $$\operatorname{tg}(a+b)=1$$, вычислите $$\operatorname{tg} b$$; б) зная, что $$\operatorname{tg} a=\frac{1}{4}$$ и $$\operatorname{tg}(a-b)=2$$, вычислите $$\operatorname{tg} b$$.

Используем формулу тангенса суммы и разности:

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}, \qquad \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}.$$

а)

Дано: $$\tg a=3,\qquad \tg(a+b)=1.$$

Тогда

$$1=\frac{3+\tg b}{1-3\tg b}.$$

Решим уравнение:

$$3+\tg b=1-3\tg b,$$

$$4\tg b=-2,$$

$$\tg b=-\frac12.$$

б)

Дано: $$\tg a=\frac14,\qquad \tg(a-b)=2.$$

Тогда

$$2=\frac{\frac14-\tg b}{1+\frac14\tg b}=\frac{1-4\tg b}{4+\tg b}.$$

Решим уравнение:

$$1-4\tg b=2(4+\tg b),$$

$$1-4\tg b=8+2\tg b,$$

$$-6\tg b=7,$$

$$\tg b=-\frac76=-1\frac16.$$

Ответ: а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac76$$.