Упр.25.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Вычислите $$\operatorname{tg} a$$, если $$\operatorname{tg}\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=3$$; б) вычислите $$\operatorname{ctg} a$$, если $$\operatorname{tg}\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}2$$.

а) Используем формулу тангенса разности:

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg \frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot \tg \frac{\pi}{4}}=\frac{\tg a-1}{1+\tg a}.$$

По условию:

$$\frac{\tg a-1}{1+\tg a}=3.$$

Тогда

$$\tg a-1=3(1+\tg a),$$

$$\tg a-1=3+3\tg a,$$

$$-2\tg a=4,$$

$$\tg a=-2.$$

б) Используем формулу тангенса суммы:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a+\tg \frac{\pi}{4}}{1-\tg a\cdot \tg \frac{\pi}{4}}=\frac{\tg a+1}{1-\tg a}.$$

По условию:

$$\frac{\tg a+1}{1-\tg a}=0{,}2=\frac15.$$

Тогда

$$5(\tg a+1)=1-\tg a,$$

$$5\tg a+5=1-\tg a,$$

$$6\tg a=-4,$$

$$\tg a=-\frac23.$$

Следовательно,

$$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac32=-1{,}5.$$

Ответ: а) $$-2$$; б) $$-1{,}5$$.