Упр.24.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\frac{\sin(a+B)-\cos a\sin a}{\sin(a-B)+\cos a\sin B}$$;
   б) $$\frac{\sin(a-B)+2\cos a\sin B}{2\cos a\cos B-\cos(a-B)}$$;
   в) $$\frac{\cos(a+B)+\sin a\sin B}{\cos(a-B)-\sin a\sin B}$$;
   г) $$\frac{\cos(a-B)-2\sin a\sin B}{2\sin a\cos B-\sin(a-B)}$$.

а) Используем формулы суммы и разности синусов:

$$\frac{\sin(a+b)-\cos a\sin b}{\sin(a-b)+\cos a\sin b} = \frac{(\sin a\cos b+\cos a\sin b)-\cos a\sin b}{(\sin a\cos b-\cos a\sin b)+\cos a\sin b} = \frac{\sin a\cos b}{\sin a\cos b} =1$$

б) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{\sin(a-b)+2\cos a\sin b}{2\cos a\cos b-\cos(a-b)} = \frac{(\sin a\cos b-\cos a\sin b)+2\cos a\sin b}{2\cos a\cos b-(\cos a\cos b+\sin a\sin b)}$$

$$= \frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b} = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} =\tg(a+b)$$

в) Аналогично:

$$\frac{\cos(a+b)+\sin a\sin b}{\cos(a-b)-\sin a\sin b} = \frac{(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+\sin a\sin b}{(\cos a\cos b+\sin a\sin b)-\sin a\sin b} = \frac{\cos a\cos b}{\cos a\cos b} =1$$

г) Преобразуем выражение:

$$\frac{\cos(a-b)-2\sin a\sin b}{2\sin a\cos b-\sin(a-b)} = \frac{(\cos a\cos b+\sin a\sin b)-2\sin a\sin b}{2\sin a\cos b-(\sin a\cos b-\cos a\sin b)}$$

$$= \frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\sin a\cos b+\cos a\sin b} = \frac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)} =\ctg(a+b)$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$\tg(a+b)$$; в) $$1$$; г) $$\ctg(a+b)$$.