Упр.24.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения: а) $$\left(\left(1+\cos 44^\circ\cos 1^\circ-\sin 44^\circ\sin 1^\circ\right)^2-1{,}5\right)^2$$; б) $$\left(\left(1+\sin 57^\circ\cos 3^\circ+\cos 57^\circ\sin 3^\circ\right)^2-1.75\right)^2$$; в) $$\left(\left(2+\sin 41^\circ\cos 4^\circ+\cos 41^\circ\sin 4^\circ\right)^2-4{,}5\right)^2$$; г) $$\left(\left(2+\cos 25^\circ\cos 5^\circ-\sin 25^\circ\sin 5^\circ\right)^2-4{,}75\right)^2$$.

Обозначим

$$a=\arcsin \frac45,\quad b=\arcsin \frac5{13},\quad c=\arcsin \frac{16}{65}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$a+b+c=\frac{\pi}{2}.$$

Достаточно показать, что

$$a+b=\frac{\pi}{2}-c.$$

Найдём синус и косинус углов $$a$$ и $$b$$:

$$\sin a=\frac45,\qquad \cos a=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35,$$

$$\sin b=\frac5{13},\qquad \cos b=\sqrt{1-\left(\frac5{13}\right)^2}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b =\frac45\cdot\frac{12}{13}+\frac35\cdot\frac5{13} =\frac{48}{65}+\frac{15}{65} =\frac{63}{65},$$

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b =\frac35\cdot\frac{12}{13}-\frac45\cdot\frac5{13} =\frac{36}{65}-\frac{20}{65} =\frac{16}{65}.$$

С другой стороны, для угла $$c$$ имеем

$$\sin c=\frac{16}{65},\qquad \cos c=\sqrt{1-\left(\frac{16}{65}\right)^2}=\frac{63}{65}.$$

Значит,

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-c\right)=\cos c=\frac{63}{65},\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-c\right)=\sin c=\frac{16}{65}.$$

Следовательно, углы $$a+b$$ и $$\frac{\pi}{2}-c$$ имеют одинаковые синус и косинус, а значит,

$$a+b=\frac{\pi}{2}-c.$$

Тогда

$$a+b+c=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$