Упр.24.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$\arccos\left(-\frac17\right)=x,\qquad \arccos\left(-\frac{13}{14}\right)=y.$$ Тогда

$$\cos x=-\frac17,\qquad \cos y=-\frac{13}{14},$$

причём $$\frac{\pi}{2}<x<\pi,\qquad \frac{\pi}{2}<y<\pi.$$

Также $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}.$$ Нужно доказать, что

$$\frac{\pi}{3}+x=y,$$

то есть $$y-x=\frac{\pi}{3}.$$

Найдём синусы углов $$x$$ и $$y$$:

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(-\frac17\right)^2}=\sqrt{\frac{48}{49}}=\frac{4\sqrt3}{7},$$

$$\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-\left(-\frac{13}{14}\right)^2}=\sqrt{\frac{27}{196}}=\frac{3\sqrt3}{14}.$$

Теперь вычислим косинус разности:

$$\cos(y-x)=\cos y\cos x+\sin y\sin x =\left(-\frac{13}{14}\right)\left(-\frac17\right)+\frac{3\sqrt3}{14}\cdot\frac{4\sqrt3}{7} =\frac{13}{98}+\frac{36}{98} =\frac12.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\pi$$ и $$\frac{\pi}{2}<y<\pi,$$ то $$0<y-x<\frac{\pi}{2}.$$ Следовательно, угол $$y-x$$ из первой четверти, а значит

$$y-x=\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}.$$

Итак,

$$\arccos\frac12+\arccos\left(-\frac17\right)=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$

Ответ: $$\arccos\frac12+\arccos\left(-\frac17\right)=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$