Упр.24.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите равенство: $$\arccos \frac{1}{2}+\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right)$$.

Обозначим

$$a=\arccos\frac12,\qquad b=\arccos\left(-\frac17\right).$$

Тогда нужно доказать, что

$$a+b=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$

Найдём косинус суммы:

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$

Так как

$$\cos a=\frac12,\qquad \sin a=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2},$$

а также

$$\cos b=-\frac17,\qquad \sin b=\sqrt{1-\left(-\frac17\right)^2}=\sqrt{\frac{48}{49}}=\frac{4\sqrt3}{7},$$

то

$$\cos(a+b)=\frac12\cdot\left(-\frac17\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{7} =-\frac{1}{14}-\frac{12}{14}=-\frac{13}{14}.$$

Теперь определим, в какой четверти лежит угол $$a+b$$. Имеем

$$0\le a\le \pi,\qquad 0\le b\le \pi,$$

причём

$$a=\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\qquad b=\arccos\left(-\frac17\right)\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).$$

Следовательно,

$$a+b\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$

то есть угол $$a+b$$ — второй четверти, где косинус отрицателен. Значит, угол с косинусом $$-\frac{13}{14}$$ в промежутке $$[0,\pi]$$ единственен, и потому

$$a+b=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$

Ответ: $$\arccos\frac12+\arccos\left(-\frac17\right)=\arccos\left(-\frac{13}{14}\right).$$