Упр.24.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите равенство: $$\arcsin\frac{4}{5}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}=\operatorname{arctg}\frac{1}{2}$$.

Пусть $$a=\arcsin \frac{4}{5}, \qquad b=\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}.$$ Тогда нужно найти $$\arcsin \frac{4}{5}-\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}=a-b.$$

Найдём $$\sin a$$ и $$\cos a$$:

$$\sin a=\frac{4}{5}, \qquad \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Для угла $$b$$ имеем:

$$\cos b=\frac{2}{\sqrt{5}}, \qquad \sin b=\sqrt{1-\cos^2 b}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Теперь используем формулу разности синусов через тангенс, удобнее найти сам угол по значению тангенса:

$$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}, \qquad \tan b=\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}}=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}=\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{2}}{1+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{2}.$$

Так как $$a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$a-b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$, значит

$$a-b=\arctg \frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\arctg \frac{1}{2}.$$