Упр.24.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)+\arcsin\frac{1}{3}\right)$$; б) $$\cos\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4}+\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$.

Подробный ответ

Пусть $$t=\arccos\frac{3}{5}.$$ Тогда $$\cos t=\frac{3}{5}, \qquad \sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\arccos\frac{3}{5}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos t+\cos\frac{\pi}{3}\sin t$$

$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{3}+4}{10}.$$

Пусть $$t=\arccos\left(-\frac{3}{5}\right).$$ Тогда $$\cos t=-\frac{3}{5}, \qquad \sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos t-\sin\frac{\pi}{6}\sin t$$

$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=-\frac{3\sqrt{3}+4}{10}.$$

Пусть $$t=\arcsin\frac{3}{5}.$$ Тогда $$\sin t=\frac{3}{5}, \qquad \cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{3}{5}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos t-\cos\frac{\pi}{4}\sin t$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}.$$

Пусть $$t=\arcsin\frac{5}{13}.$$ Тогда $$\sin t=\frac{5}{13}, \qquad \cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{5}{13}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos t+\sin\frac{\pi}{2}\sin t=0\cdot\cos t+1\cdot\sin t=\frac{5}{13}.$$