Упр.24.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
а) $$y=\sin\frac{11x}{5}\cos\frac{x+10\pi}{5}-\cos\frac{11x}{5}\sin\frac{x}{5}$$;
б) $$y=\cos\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(x+\frac{9\pi}{4}\right)$$.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса разности:

$$\sin A\cos B-\cos A\sin B=\sin(A-B).$$

Тогда

$$\sin \frac{11x}{5}\cos \frac{x+10\pi}{5}-\cos \frac{11x}{5}\sin \frac{x}{5} = \sin \frac{11x}{5}\cos \left(\frac{x}{5}+2\pi\right)-\cos \frac{11x}{5}\sin \frac{x}{5}.$$

Так как $$\cos\left(\frac{x}{5}+2\pi\right)=\cos \frac{x}{5},$$ получаем

$$y=\sin \frac{11x}{5}\cos \frac{x}{5}-\cos \frac{11x}{5}\sin \frac{x}{5} =\sin\left(\frac{11x}{5}-\frac{x}{5}\right) =\sin 2x.$$

Аналогично для второго выражения используем формулу косинуса разности:

$$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B).$$

Имеем

$$y=\cos\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) +\sin\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(x+\frac{9\pi}{4}\right).$$

Так как $$\frac{9\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi,$$ то

$$\sin\left(x+\frac{9\pi}{4}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Следовательно,

$$y=\cos\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) +\sin\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\left(2x+\frac{7\pi}{12}\right)-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

Упростим аргумент:

$$y=\cos\left(x+\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right) =\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Итак, графики функций: