Упр.24.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что если $$\tan(a+b)\sin y=\cos y$$, то $$a+b+y=\frac{\pi}{2}+\pi n$$;

б) Докажите, что если $$\cot(a+b)\sin y=-\cos y$$, то $$a+b+y=\pi n$$.

Рассмотрим оба пункта.

1. Пусть $$\sin x \cdot \cos y=0{,}7$$ и $$\cos x \cdot \sin y=0{,}4.$$ Тогда

   $$\sin(x+y)=\sin x \cdot \cos y+\cos x \cdot \sin y=0{,}7+0{,}4=1{,}1.$$

   Но для любого угла $$\sin(x+y)\le 1.$$ Получили противоречие. Значит, такой пары чисел $$x$$ и $$y$$ не существует.

2. Пусть $$\cos x \cdot \cos y=\frac{\sqrt6}{3}$$ и $$\sin x \cdot \sin y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$ Тогда

   $$\cos(x+y)=\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y=\frac{\sqrt6}{3}+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{6}.$$

   Так как $$\sqrt6>2$$ и $$\sqrt2>1,$$ то

   $$2\sqrt6+3\sqrt2>4+3=7,$$

   следовательно,

   $$\cos(x+y)=\frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{6}>1.$$

   Это невозможно, так как для любого угла $$\cos(x+y)\le 1.$$ Значит, такой пары чисел $$x$$ и $$y$$ не существует.

Ответ: в обоих пунктах таких пар чисел не существует.