Упр.24.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что не существует пары $$(x; y)$$, такой, что:
   а) $$\sin x \cos y = 0{,}7$$; $$\cos x \sin y = 0{,}4$$;
   б) $$\cos x \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3}$$; $$\sin x \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Обозначим:

$$\sin x \cos y = a,\qquad \cos x \sin y = b.$$

Тогда

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=a+b,$$

$$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y=a-b.$$

С другой стороны, для любых $$x$$ и $$y$$ числа $$\sin(x+y)$$ и $$\sin(x-y)$$ должны принадлежать отрезку $$[-1;1].$$

Проверим данные значения.

a) $$a=0{,}7,\qquad b=0{,}4.$$

Тогда

$$\sin(x+y)=0{,}7+0{,}4=1{,}1,$$

а это невозможно, так как $$|\sin(x+y)|\le 1.$$

Следовательно, такой пары $$(x;y)$$ не существует.

б) $$\cos x\cos y=\frac{\sqrt6}{3},\qquad \sin x\sin y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Используем формулу:

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$$

Тогда

$$\cos(x+y)=\frac{\sqrt6}{3}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt6}{3}+\frac{\sqrt2}{2}.$$

Оценим это число:

$$\frac{\sqrt6}{3}+\frac{\sqrt2}{2}>1,$$

значит, $$\cos(x+y)$$ не может принимать такое значение, поскольку $$|\cos(x+y)|\le 1.$$

Следовательно, и в этом случае пары $$(x;y)$$ не существует.

Ответ

а) не существует; б) не существует.