Упр.24.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Зная, что $$\cos(x+y)=a$$, $$\cos(x-y)=b$$, найдите $$\operatorname{tg}x\operatorname{tg}y$$.
   б) Зная, что $$\sin(x+y)=a$$, $$\sin(x-y)=b$$, найдите $$\frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}y}$$.

а) $$a=\frac{\sin 3}{\sin 4},\qquad b=\frac{\cos 3}{\cos 4}.$$

Точка $$3$$ лежит в первой четверти, поэтому $$\sin 3>0,\ \cos 3>0.$$

Точка $$4$$ лежит в третьей четверти, значит $$\sin 4<0,\ \cos 4<0.$$

Тогда

$$a=\frac{+}{-}<0,\qquad b=\frac{+}{-}<0.$$

Найдём разность:

$$a-b=\frac{\sin 3}{\sin 4}-\frac{\cos 3}{\cos 4} =\frac{\sin 3\cos 4-\cos 3\sin 4}{\sin 4\cos 4} =\frac{\sin(3-4)}{\sin 4\cos 4} =\frac{-\sin 1}{\sin 4\cos 4}.$$

Так как $$\sin 1>0,$$ а $$\sin 4<0,\ \cos 4<0,$$ то $$\sin 4\cos 4>0.$$ Следовательно,

$$a-b<0,$$

значит, $$a<b.$$

б) $$a=\frac{\sin 4}{\cos 5},\qquad b=\frac{\cos 4}{\sin 5}.$$

Точка $$4$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\sin 4<0,\ \cos 4<0.$$

Точка $$5$$ лежит в четвёртой четверти, значит $$\sin 5<0,\ \cos 5>0.$$

Тогда

$$a=\frac{-}{+}<0,\qquad b=\frac{-}{-}>0.$$

Следовательно, $$a<b.$$

Ответ: а) $$a<b$$; б) $$a<b$$.