Упр.24.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сравните числа $$a$$ и $$b$$, если:
   а) $$a=\frac{\sin 3}{\sin 4}$$;
   б) $$b=\frac{\cos 3}{\cos 4}$$;
   в) $$a=\frac{\sin 4}{\cos 5}$$;
   г) $$b=\frac{\cos 4}{\sin 5}$$.

Пусть $$a=\sin x\cdot \cos 2x,$$ $$b=\sin 3x.$$

Используем формулу суммы:

$$b=\sin 3x=\sin(x+2x)=\sin x\cdot \cos 2x+\cos x\cdot \sin 2x.$$

а) $$\frac{\pi}{2}<x<\pi$$

Здесь $$x$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos x<0.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\pi,$$ то $$\pi<2x<2\pi,$$ следовательно, $$\sin 2x<0.$$

Тогда

$$a-b=\sin x\cdot \cos 2x-\bigl(\sin x\cdot \cos 2x+\cos x\cdot \sin 2x\bigr)=-\cos x\cdot \sin 2x<0.$$

Значит, $$a<b.$$

б) $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$$

Здесь $$x$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\cos x<0.$$

Так как $$\pi<x<\frac{3\pi}{2},$$ то $$2\pi<2x<3\pi,$$ следовательно, $$\sin 2x>0.$$

Тогда

$$a-b=\sin x\cdot \cos 2x-\bigl(\sin x\cdot \cos 2x+\cos x\cdot \sin 2x\bigr)=-\cos x\cdot \sin 2x>0.$$

Значит, $$a>b.$$

Ответ: а) $$a<b$$; б) $$a>b$$.