Упр.24.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сравните числа $$a=\sin x\cos 2x$$ и $$b=\sin 3x$$, если:
а) $$\frac{\pi}{2}б) $$\pi

Используем формулу суммы косинусов:

$$b=\cos 3x=\cos(x+2x)=\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x.$$

Тогда

$$a-b=\sin x\cos 2x-\sin 3x.$$

Но удобнее сравнить числа через разность:

$$a-b=\sin x\cos 2x-\bigl(\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x\bigr)=-\cos x\sin 2x.$$

Однако по условию задания сравниваются числа $$a=\sin x\cos 2x$$ и $$b=\sin 3x$$, поэтому запишем

$$b=\sin(x+2x)=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x,$$

откуда

$$a-b=-\cos x\sin 2x.$$

Теперь рассмотрим случаи.

1. Если $$\frac{\pi}{2}

   Следовательно, $$-\cos x\sin 2x>0,$$ то есть $$a-b>0.$$

   Значит, $$a>b.$$

2. Если $$\pi<x<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos x<0,$$ а $$2\pi<2x<3\pi,$$ значит $$\sin 2x>0.$$

   Следовательно, $$-\cos x\sin 2x<0,$$ то есть $$a-b<0.$$

   Значит, $$a<b.$$

Ответ: а) $$a>b$$; б) $$a<b$$.