Упр.24.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что для любого действительного значения $$x$$ справедливо неравенство:
   а) $$\sin(5+x)\cos x<\cos(5+x)\sin x$$;
   б) $$\cos(7-2x)\cos 2x>\sin(7-2x)\sin 2x$$.

Используем формулы приведения к сумме:

$$\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin(A+B),$$
$$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B).$$

1. $$\sin x\cdot \cos 3x+\cos x\cdot \sin 3x>\frac12$$
   $$\sin( x+3x)>\frac12$$
   $$\sin 4x>\frac12.$$

   Для функции $$\sin t>\frac12$$ получаем:
   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Подставляя $$t=4x$$, имеем
   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<4x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
   Делим на $$4$$:
   $$\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 2x\cdot \cos 5x-\sin 2x\cdot \sin 5x<-\frac13$$
   $$\cos(2x+5x)<-\frac13$$
   $$\cos 7x<-\frac13.$$

   Для функции $$\cos t<-\frac13$$ получаем:
   $$\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n<t<2\pi-\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Подставляя $$t=7x$$, имеем
   $$\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n<7x<2\pi-\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n.$$
   Делим на $$7$$:
   $$\frac{1}{7}\arccos\!\left(-\frac13\right)+\frac{2\pi n}{7}<x<\frac{2\pi}{7}-\frac{1}{7}\arccos\!\left(-\frac13\right)+\frac{2\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin x\cdot \cos \frac{x}{2}+\cos x\cdot \sin \frac{x}{2}\le -\frac27$$
   $$\sin\!\left(x+\frac{x}{2}\right)\le -\frac27$$
   $$\sin\frac{3x}{2}\le -\frac27.$$

   Пусть $$t=\frac{3x}{2}$$. Тогда
   $$\sin t\le -\frac27.$$
   Обозначим $$\alpha=\arcsin\frac27$$, тогда
   $$\sin t\le -\frac27 \iff -\pi-\alpha+2\pi n\le t\le -\alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Подставляя $$t=\frac{3x}{2}$$ и умножая на $$\frac23$$, получаем
   $$-\frac{2\pi}{3}-\frac23\arcsin\frac27+\frac{4\pi n}{3}\le x\le -\frac23\arcsin\frac27+\frac{4\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos\frac{x}{2}\cdot \cos\frac{x}{4}-\sin\frac{x}{2}\cdot \sin\frac{x}{4}>\frac{\sqrt2}{2}$$
   $$\cos\!\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}\right)>\frac{\sqrt2}{2}$$
   $$\cos\frac{3x}{4}>\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Для функции $$\cos t>\frac{\sqrt2}{2}$$ имеем
   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Подставляя $$t=\frac{3x}{4}$$, получаем
   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{3x}{4}<\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$
   Умножая на $$\frac43$$, имеем
   $$-\frac{\pi}{3}+\frac{8\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{8\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$\frac{1}{7}\arccos\!\left(-\frac13\right)+\frac{2\pi n}{7}<x<\frac{2\pi}{7}-\frac{1}{7}\arccos\!\left(-\frac13\right)+\frac{2\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$-\frac{2\pi}{3}-\frac23\arcsin\frac27+\frac{4\pi n}{3}\le x\le -\frac23\arcsin\frac27+\frac{4\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$-\frac{\pi}{3}+\frac{8\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{8\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$