Упр.24.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin x\cos 3x+\cos x\sin 3x>\frac{1}{2}$$;

   б) $$\cos 2x\cos 5x-\sin 2x\sin 5x<-\frac{1}{3}$$;

   в) $$\sin x\cos\frac{x}{2}+\cos x\sin\frac{x}{2}\leq-\frac{2}{7}$$;

   г) $$\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}-\sin\frac{x}{2}\sin\frac{x}{4}>\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

а) $$\sin 5x\cos 3x-\cos 5x\sin 3x>\frac12$$

$$\sin(5x-3x)>\frac12$$

$$\sin 2x>\frac12$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos x\cos \frac{x}{2}+\sin x\sin \frac{x}{2}<-\frac27$$

$$\cos\left(x-\frac{x}{2}\right)<-\frac27$$

$$\cos \frac{x}{2}<-\frac27$$

$$\frac{x}{2}\in\left(\arccos\left(-\frac27\right)+2\pi n,\;2\pi-\arccos\left(-\frac27\right)+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z$$

Отсюда

$$x\in\left(2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n,\;4\pi-2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{4}\sin \frac{x}{2}<\frac13$$

$$\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}\right)<\frac13$$

$$\sin\left(-\frac{x}{4}\right)<\frac13$$

$$\sin \frac{x}{4}>-\frac13$$

$$\frac{x}{4}\in\left(-\arcsin\frac13+2\pi n,\;\pi+\arcsin\frac13+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z$$

Следовательно,

$$x\in\left(-4\arcsin\frac13+8\pi n,\;4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\sin 2x\sin 5x+\cos 2x\cos 5x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\cos(5x-2x)>-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\cos 3x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$3x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z$$

Отсюда

$$x\in\left(-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\;\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\right),\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi}{12}+\pi n,\;\frac{5\pi}{12}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x\in\left(2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n,\;4\pi-2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x\in\left(-4\arcsin\frac13+8\pi n,\;4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\;\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z$$