Упр.24.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\sin 5x\cos 3x-\cos 5x\sin 3x>\frac{1}{2}$$;
   б) $$\cos x\cos\frac{x}{2}+\sin x\sin\frac{x}{2}<-\frac{2}{7}$$;
   в) $$\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{4}\sin\frac{x}{2}<\frac{1}{3}$$;
   г) $$\sin 2x\sin 5x+\cos 2x\cos 5x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Известно, что $$\sin \beta=-\frac{12}{13}, \quad \cos a=-0{,}8,\quad \pi<\beta<\frac{3\pi}{2},\quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$

Так как угол $$\beta$$ лежит в третьей четверти, а угол $$a$$ — во второй, то

$$\cos \beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13},$$

$$\cos a=-0{,}8=-\frac{4}{5},$$

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

а) $$\sin(a-\beta)=\sin a\cdot \cos \beta-\cos a\cdot \sin \beta;$$

$$\sin(a-\beta)=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{15}{65}-\frac{48}{65}=-\frac{63}{65}.$$

б) $$\cos(a-\beta)=\cos a\cdot \cos \beta+\sin a\cdot \sin \beta;$$

$$\cos(a-\beta)=\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{20}{65}-\frac{36}{65}=-\frac{16}{65}.$$

Ответ

а) $$-\frac{63}{65}$$; б) $$-\frac{16}{65}$$.