Упр.24.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$\sin t=\frac{5}{13}$$, $$\frac{\pi}{2}

• а) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)$$;
• б) $$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$$;
• в) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$$;
• г) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)$$.

Так как $$\sin t=\frac{5}{13}$$ и $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол $$t$$ лежит во II четверти, значит

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t}=-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos t-\cos\frac{\pi}{3}\sin t,$$

$$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\cos t\cos\frac{\pi}{2}+\sin t\sin\frac{\pi}{2},$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos t,$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos t+\sin\frac{\pi}{3}\sin t.$$

Вычислим:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{13}=-\frac{12\sqrt{3}+5}{26};$$

$$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot 0+\frac{5}{13}\cdot 1=\frac{5}{13};$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-\frac{12}{13};$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{5}{13}=\frac{5\sqrt{3}-12}{26}.$$

Ответ: а) $$-\frac{12\sqrt{3}+5}{26}$$; б) $$\frac{5}{13}$$; в) $$-\frac{12}{13}$$; г) $$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$$.