Упр.24.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Зная, что $$\sin a=\frac{9}{41}$$, $$\sin B=-\frac{40}{41}$$, $$0

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$, то угол $$\alpha$$ лежит в I четверти, значит $$\cos \alpha>0$$.
Так как $$\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$$, то угол $$\beta$$ лежит в IV четверти, значит $$\cos \beta>0$$.

Найдём недостающие значения:

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{9}{41}\right)^2}=\sqrt{\frac{1600}{1681}}=\frac{40}{41}.$$

$$\cos \beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\left(-\frac{40}{41}\right)^2}=\sqrt{\frac{81}{1681}}=\frac{9}{41}.$$

Теперь используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{9}{41}\cdot\frac{9}{41}+\frac{40}{41}\cdot\left(-\frac{40}{41}\right)=\frac{81-1600}{1681}=-\frac{1519}{1681}.$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{40}{41}\cdot\frac{9}{41}-\frac{9}{41}\cdot\left(-\frac{40}{41}\right)=\frac{360+360}{1681}=\frac{720}{1681}.$$

Ответ

а) $$-\frac{1519}{1681}$$; б) $$\frac{720}{1681}$$.