Упр.24.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$\sin \alpha=\frac{4}{5}$$, $$\cos \beta=-\frac{15}{17}$$, $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$, $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$$, найдите значение выражения:
а) $$\sin(\alpha+\beta)$$;
б) $$\cos(\alpha+\beta)$$.

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$ и $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ лежат во второй четверти. Поэтому

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=-\sqrt{\frac{225}{289}}=-\frac{15}{17},$$

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{8}{17}\cdot\frac{4}{5}+\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot\frac{3}{5}=\frac{32-45}{85}=-\frac{13}{85}.$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot\frac{4}{5}-\frac{8}{17}\cdot\frac{3}{5}=\frac{-60-24}{85}=-\frac{84}{85}.$$

Ответ

а) $$-\frac{13}{85}$$; б) $$-\frac{84}{85}$$.