Упр.24.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$$;
   б) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha$$;
   в) $$\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$$;
   г) $$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$$.

a) $$\sin(a+\beta)-\sin a\cdot \cos\beta=(\sin a\cdot \cos\beta+\cos a\cdot \sin\beta)-\sin a\cdot \cos\beta=\cos a\cdot \sin\beta.$$

Ответ: $$\cos a\cdot \sin\beta.$$

б) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)-\frac12\sin a=\left(\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos a+\cos\frac{\pi}{3}\cdot \sin a\right)-\frac12\sin a$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a-\frac12\sin a=\frac{\sqrt3}{2}\cos a.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{2}\cos a.$$

в) $$\sin a\cdot \sin\beta+\cos(a+\beta)=\sin a\cdot \sin\beta+\left(\cos a\cdot \cos\beta-\sin a\cdot \sin\beta\right)=\cos a\cdot \cos\beta.$$

Ответ: $$\cos a\cdot \cos\beta.$$

г) $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\left(\cos a\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\sin a\cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin a$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}\cos a.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt2}{2}\cos a.$$