Упр.24.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Зная, что $$\sin \alpha=\frac{8}{17}$$, $$\cos\beta=\frac{4}{5}$$, $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$, $$0<\beta<\frac{\pi}{2}$$, найдите значение выражения: а) $$\sin(\alpha+\beta)$$; б) $$\cos(\alpha+\beta)$$.

Так как $$\sin \alpha=\frac{8}{17}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{289-64}{289}}=\frac{15}{17}.$$

Так как $$\cos \beta=\frac{4}{5}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{25-16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Теперь используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{8}{17}\cdot\frac{4}{5}+\frac{15}{17}\cdot\frac{3}{5}=\frac{32}{85}+\frac{45}{85}=\frac{77}{85}.$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}-\frac{8}{17}\cdot\frac{3}{5}=\frac{60}{85}-\frac{24}{85}=\frac{36}{85}.$$

Ответ

а) $$\frac{77}{85}$$; б) $$\frac{36}{85}$$.