Упр.24.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$
б) $$\sin x+\cos x=1$$
в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$$
г) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$
a) $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1$$
$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=1$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$$
$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$\sin x-\cos x=1$$
$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=1$$
$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x=1$$
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$
$$x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$\sqrt3\cos x-\sin x=1$$
$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\frac12$$
$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x-\sin\frac{\pi}{6}\sin x=\frac12$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$$
$$x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
