Упр.24.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$

б) $$\sin x-\cos x=1$$

в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1$$

г) $$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$$

а) $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=\frac12.$$

Раскроем косинус разности:

$$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=\frac12.$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)-\cos x=\frac12,$$

$$\cos x+\sin x-\cos x=\frac12,$$

$$\sin x=\frac12.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Раскроем синус разности:

$$\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Подставим значения тригонометрических функций угла $$\frac{\pi}{4}$$:

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$