Упр.24.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $$\sin 0{,}2x\cos 0{,}8x+\cos 0{,}2x\sin 0{,}8x=\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x,\quad x\in[0;3\pi]$$;

б) $$\cos 0{,}7x\cos 1{,}3x-\sin 0{,}7x\sin 1{,}3x=\sin 7x\cos 9x-\sin 9x\cos 7x,\quad x\in[-\pi;\pi]$$.

Используем формулы:

$$\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha+\beta),$$

$$\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta=\sin(\alpha-\beta).$$

а)

$$\sin 0{,}2x\cos 0{,}8x+\cos 0{,}2x\sin 0{,}8x=\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x$$

$$\sin(0{,}2x+0{,}8x)=\cos(3x-2x)$$

$$\sin x=\cos x$$

$$\tan x=1$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

б)

$$\cos 0{,}7x\cos 1{,}3x-\sin 0{,}7x\sin 1{,}3x=\sin 7x\cos 9x-\sin 9x\cos 7x$$

$$\cos(0{,}7x+1{,}3x)=\sin(7x-9x)$$

$$\cos 2x=\sin(-2x)=-\sin 2x$$

$$\cos 2x+\sin 2x=0$$

$$\sqrt2\,\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$2x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$[-\pi;\pi]$$ подходят значения:

$$x=-\frac{7\pi}{8},\ -\frac{3\pi}{8},\ \frac{\pi}{8},\ \frac{5\pi}{8}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

б) $$x=-\frac{7\pi}{8},\ -\frac{3\pi}{8},\ \frac{\pi}{8},\ \frac{5\pi}{8}.$$