Упр.24.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\cos 6x\cos 5x+\sin 6x\sin 5x=-1$$;
   б) $$\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x=0{,}5$$.

Используем формулы приведения:

$$\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = \cos(6x-5x)=\cos x,$$
$$\sin 3x \cos 5x — \sin 5x \cos 3x = \sin(3x-5x)=\sin(-2x)=-\sin 2x.$$

Тогда уравнения принимают вид:

$$\cos x=-1,$$
$$-\sin 2x=0{,}5.$$

а) $$\cos x=-1$$, значит

$$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) $$-\sin 2x=0{,}5$$, то есть

$$\sin 2x=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Делим на $$2$$:

$$x=-\frac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z};$$
б) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi k \ \text{или}\ x=\frac{7\pi}{12}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$