Упр.24.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения:

а) $$\sin x\cos 45^\circ+\cos x\sin 45^\circ=\cos 17^\circ\cos 13^\circ-\sin 17^\circ\sin 13^\circ$$;

б) $$\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ=\sin 200^\circ\cos 80^\circ-\cos 200^\circ\sin 80^\circ$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin(A+B),$$
$$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B).$$

1. $$\sin x\cos 45^\circ+\cos x\sin 45^\circ=\cos 17^\circ\cos 13^\circ-\sin 17^\circ\sin 13^\circ$$
   $$\sin(x+45^\circ)=\cos(17^\circ+13^\circ)$$
   $$\sin(x+45^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда
   $$x+45^\circ=60^\circ+360^\circ n \quad \text{или} \quad x+45^\circ=120^\circ+360^\circ n,$$
   откуда
   $$x=15^\circ+360^\circ n \quad \text{или} \quad x=75^\circ+360^\circ n.$$

   Наименьший положительный корень: $$15^\circ.$$

2. $$\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ=\sin 200^\circ\cos 80^\circ-\cos 200^\circ\sin 80^\circ$$
   $$\cos(x-45^\circ)=\sin(200^\circ-80^\circ)$$
   $$\cos(x-45^\circ)=\sin 120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда
   $$x-45^\circ=30^\circ+360^\circ n \quad \text{или} \quad x-45^\circ=330^\circ+360^\circ n,$$
   откуда
   $$x=75^\circ+360^\circ n \quad \text{или} \quad x=375^\circ+360^\circ n.$$

   Наименьший положительный корень: $$75^\circ.$$

Ответ: а) $$15^\circ$$; б) $$75^\circ$$.