Упр.24.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1$$; б) $$\cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x$$; в) $$\sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2}$$; г) $$\cos 5x \cos 7x — \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha+\beta).$$

1. $$\left((1+\cos 44^\circ \cdot \cos 1^\circ-\sin 44^\circ \cdot \sin 1^\circ)^2-1{,}5\right)^2$$

   $$=\left((1+\cos(44^\circ+1^\circ))^2-1{,}5\right)^2=\left((1+\cos 45^\circ)^2-1{,}5\right)^2.$$

   Так как $$\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

   $$\left(\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac32\right)^2=\left(1+\sqrt2+\frac12-\frac32\right)^2=(\sqrt2)^2=2.$$

2. $$\left((1+\sin 57^\circ \cdot \cos 3^\circ+\cos 57^\circ \cdot \sin 3^\circ)^2-1{,}75\right)^2$$

   $$=\left((1+\sin(57^\circ+3^\circ))^2-1{,}75\right)^2=\left((1+\sin 60^\circ)^2-1{,}75\right)^2.$$

   Так как $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$ имеем

   $$\left(\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-\frac74\right)^2=\left(1+\sqrt3+\frac34-\frac74\right)^2=(\sqrt3)^2=3.$$

3. $$\left((2+\sin 41^\circ \cdot \cos 4^\circ+\cos 41^\circ \cdot \sin 4^\circ)^2-4{,}5\right)^2$$

   $$=\left((2+\sin(41^\circ+4^\circ))^2-4{,}5\right)^2=\left((2+\sin 45^\circ)^2-4{,}5\right)^2.$$

   Так как $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

   $$\left(\left(2+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac92\right)^2=\left(4+2\sqrt2+\frac12-\frac92\right)^2=(2\sqrt2)^2=8.$$

4. $$\left((2+\cos 25^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 25^\circ \cdot \sin 5^\circ)^2-4{,}75\right)^2$$

   $$=\left((2+\cos(25^\circ+5^\circ))^2-4{,}75\right)^2=\left((2+\cos 30^\circ)^2-4{,}75\right)^2.$$

   Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$ имеем

   $$\left(\left(2+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-\frac{19}{4}\right)^2=\left(4+2\sqrt3+\frac34-\frac{19}{4}\right)^2=(2\sqrt3)^2=12.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$8$$; г) $$12$$.