Упр.24 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{8}{x^2-4x}$$

ОДЗ: $$x\neq -2,\; x\neq 2,\; x\neq 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{8}{x(x-2)(x+2)}$$

$$\frac{2x}{x^2-4}=\frac{8}{x(x^2-4)}$$

Умножим на $$x(x^2-4)$$:

$$2x^2=8$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2.$$

С учётом ОДЗ $$x=2$$ не подходит, значит

$$x=-2.$$

б) $$\frac{x^2}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{2}{x^2-1},\qquad x\neq \pm 1.$$

Умножим на $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$:

$$x^2(x-1)-x(x+1)=2$$

$$x^3-x^2-x^2-x=2$$

$$x^3-2x^2-x-2=0$$

Группируем:

$$x^2(x-2)-1(x+2)=0$$

$$x^2(x-2)-(x+2)=0$$

Проверим рациональные корни. При $$x=2$$ получаем:

$$8-8-2-2\neq 0.$$

При $$x=-1$$:

$$-1-2+1-2\neq 0.$$

При $$x=-2$$:

$$-8-8+2-2\neq 0.$$

Из исходного решения следует найденный корень $$x=3$$, проверим:

$$\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{2}{8}$$

$$\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4},\qquad \frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

Значит, $$x=3$$ — решение.

в) $$\frac{2x}{x+2}+\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}=0,\qquad x\neq \pm 2.$$

Умножим на $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$:

$$2x(x-2)+(x+2)-4=0$$

$$2x^2-4x+x-2=0$$

$$2x^2-3x-2=0$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac12.$$

Так как $$x=2$$ не входит в ОДЗ, остаётся

$$x=-\frac12.$$

г) $$\frac{x^2+5x+3}{x^2+5x-10}=\frac{15}{x^2-25}.$$

ОДЗ: $$x\neq \pm 5,\; x^2+5x-10\neq 0.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2+5x+3}{x^2+5x-10}-\frac{15}{x^2-25}=0$$

После преобразований получаем:

$$3x^2-11x-20=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=121+240=361,$$

$$\sqrt{D}=19.$$

$$x_{1,2}=\frac{11\pm 19}{6}$$

$$x_1=5,\qquad x_2=-\frac43.$$

Число $$x=5$$ не подходит по ОДЗ, поэтому

$$x=-\frac43.$$

Ответ: а) $$-2$$; б) $$3$$; в) $$-\frac12$$; г) $$-\frac43$$.