Упр.24.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите равенство:
   а) $$\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{4}$$; б) $$\cos^2 75^\circ — \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$; в) $$\sin 105^\circ \cos 105^\circ = -\frac{1}{4}$$; г) $$\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

1. $$\sin 75^\circ\cos 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)\cos(45^\circ+30^\circ).$$

   $$\sin 75^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},$$

   $$\cos 75^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

   Тогда

   $$\sin 75^\circ\cos 75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\frac{6-2}{16}=\frac14.$$

2. $$\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ=\cos 2\cdot 75^\circ=\cos 150^\circ.$$

   $$\cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. $$\sin 105^\circ\cos 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)\cos(60^\circ+45^\circ).$$

   $$\sin 105^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},$$

   $$\cos 105^\circ=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\sin 105^\circ\cos 105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}=\frac{2-6}{16}=-\frac14.$$

4. $$\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ=1$$

   по основному тригонометрическому тождеству.

Ответ: а) $$\frac14$$; б) $$-\frac{\sqrt3}{2}$$; в) $$-\frac14$$; г) $$1$$.