Упр.24.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения): а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$; б) $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x$$; в) $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg x$$; г) $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\tg x$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \ctg(\alpha+\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta}.$$

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos x+\cos\frac{\pi}{2}\sin x=1\cdot\cos x+0\cdot\sin x=\cos x.$$

2. $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\cos\frac{3\pi}{2}\cos x+\sin\frac{3\pi}{2}\sin x=0\cdot\cos x+(-1)\cdot\sin x=-\sin x.$$

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\frac{\sin\frac{\pi}{2}\cos x-\cos\frac{\pi}{2}\sin x}{\cos\frac{\pi}{2}\cos x+\sin\frac{\pi}{2}\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\ctg x.$$

4. $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}=\frac{\cos\frac{3\pi}{2}\cos x-\sin\frac{3\pi}{2}\sin x}{\sin\frac{3\pi}{2}\cos x+\cos\frac{3\pi}{2}\sin x}=\frac{0\cdot\cos x-(-1)\cdot\sin x}{-1\cdot\cos x+0\cdot\sin x}=-\tg x.$$

Ответ: $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x,\quad \tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg x,\quad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\tg x.$$