Упр.24.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения): а) $$\sin(\pi-x)=\sin x$$; б) $$\cos(\pi+x)=-\cos x$$; в) $$\tg(2\pi-x)=-\tg x$$; г) $$\ctg(\pi-x)=-\ctg x$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

1. $$\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0\cdot\cos x-(-1)\cdot\sin x=\sin x.$$

2. $$\cos(\pi+x)=\cos\pi\cos x-\sin\pi\sin x=(-1)\cdot\cos x-0\cdot\sin x=-\cos x.$$

3. $$\tg(2\pi-x)=\frac{\sin(2\pi-x)}{\cos(2\pi-x)}$$
   $$=\frac{\sin2\pi\cos x-\cos2\pi\sin x}{\cos2\pi\cos x+\sin2\pi\sin x}$$
   $$=\frac{0\cdot\cos x-1\cdot\sin x}{1\cdot\cos x+0\cdot\sin x}=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\tg x.$$

4. $$\ctg(\pi-x)=\frac{\cos(\pi-x)}{\sin(\pi-x)}$$
   $$=\frac{\cos\pi\cos x+\sin\pi\sin x}{\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x}$$
   $$=\frac{(-1)\cdot\cos x+0\cdot\sin x}{0\cdot\cos x-(-1)\cdot\sin x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\ctg x.$$

Ответ: $$\sin(\pi-x)=\sin x,\quad \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \tg(2\pi-x)=-\tg x,\quad \ctg(\pi-x)=-\ctg x.$$