Упр.24.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

• а) $$\cos(a-b)+\sin(-a)\sin b=\cos a\cos b$$;
• б) $$\sin(30^\circ-a)-\cos(60^\circ-a)=-\sqrt{3}\sin a$$;
• в) $$\sin(a-b)-\cos a\sin(-b)=\sin a\cos b$$;
• г) $$\sin(30^\circ-a)+\sin(30^\circ+a)=\cos a$$.

Используем формулы приведения и формулы сложения и вычитания тригонометрических функций.

а)

$$\cos(a-b)+\sin(-a)\sin b$$
$$=(\cos a\cos b+\sin a\sin b)-\sin a\sin b$$
$$=\cos a\cos b.$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin(30^\circ-a)-\cos(60^\circ-a)$$
$$=(\sin 30^\circ\cos a-\cos 30^\circ\sin a)-(\cos 60^\circ\cos a+\sin 60^\circ\sin a)$$
$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a-\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$
$$=-\sqrt3\sin a.$$

Тождество доказано.

в)

$$\sin(a-b)-\cos a\sin(-b)$$
$$=(\sin a\cos b-\cos a\sin b)+\cos a\sin b$$
$$=\sin a\cos b.$$

Тождество доказано.

г)

$$\sin(30^\circ-a)+\sin(30^\circ+a)$$
$$=(\sin 30^\circ\cos a-\cos 30^\circ\sin a)+(\sin 30^\circ\cos a+\cos 30^\circ\sin a)$$
$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$
$$=\cos a.$$

Тождество доказано.