Упр.24.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1. а) $$\sin 5x\cos 3x+\cos 5x\sin 3x=\sin 8x$$; б) $$\cos 5x\cos 3x-\sin 5x\sin 3x=\cos 8x$$; в) $$\sin 7x\cos 4x-\cos 7x\sin 4x=\sin 3x$$; г) $$\cos 2x\cos 12x+\sin 2x\sin 12x=\cos 10x$$.

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

1. $$\sin 5x\cos 3x+\cos 5x\sin 3x=\sin(5x+3x)=\sin 8x.$$

2. $$\cos 5x\cos 3x-\sin 5x\sin 3x=\cos(5x+3x)=\cos 8x.$$

3. $$\sin 7x\cos 4x-\cos 7x\sin 4x=\sin(7x-4x)=\sin 3x.$$

4. $$\cos 2x\cos 12x+\sin 2x\sin 12x=\cos(2x-12x)=\cos(-10x)=\cos 10x.$$

Все тождества доказаны.